சதுரத்தின் சுற்றளவு, பரப்பளவு மற்றும் மூலைவிட்டம் formula|square's circumference, area and diagonal formula

        சதுரம்

 

    சம அளவுள்ள நான்கு பக்கங்களால் அடைபட்ட  பரப்பு சதுரம்  ஆகும். நான்கு பக்கமும் சம அளவு இருக்கும். உதாரணமாக நாம் விளையாடும் சதுரங்க விளையாட்டு, கேரம் போர்டை சொல்லலாம். நிலத்தை சதுர அடி, சதுர மீட்டர் போன்ற சதுர அலகுகளை கொண்டு அளப்பர். சதுரத்தின் சுற்றளவு, பரப்பளவு மற்றும் அதன்  மூலைவிட்டத்திற்க்கான  சூத்திரங்களை  பார்ப்போம்.

இதில் a என்பது  பக்கம் ஆகும். d என்பது  மூலைவிட்டம் ஆகும்.

சதுரத்தின் சுற்றளவு :

              சதுரத்தின் நான்கு பக்கங்களின் கூடுதல் அதன் சுற்றளவு  ஆகும்.

சதுரத்தின் சுற்றளவு =a+a+a+a 

      (Circumference)

                   =4a அலகுகள்.

        

            a- பக்கம்

சதுரத்தின் பரப்பளவு :

            சம அளவுள்ள பக்கங்களால் அடைபட்ட  சதுரத்தின் உட்பகுதி சதுரத்தின் பரப்பளவு ஆகும்.

சதுரத்தின் பரப்பளவு

                               (Area)}=a×a

   

                                             =a^2 ச. அலகுகள்.

சதுரத்தின் மூலைவிட்டம் :

        சதுரத்தின் ஏதேனும் ஒரு மூலையின் நேர் எதிர் மூலையை இணைக்கும் கோடு மூலைவிட்டம் ஆகும். இது d என்னும் எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

   பிதாகரஸ் தேற்றத்தை பயன்படுத்தி

              d^2 =a^2+a^2

                   d=√a^2+a^2

                    d=√2a^2

மூலைவிட்டம் 

       ( diagonal ) } =a√2 அலகுகள்.

சதுரத்தின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு சில எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள் :

1.  ஒரு சதுரத்தின் ஒரு பக்கத்தின் அளவு 10 சென்டி மீட்டர்கள் ஆகும்.  அதன் சுற்றளவு காண்க?

தீர்வு :

  

   மேலே சதுரத்தின் சுற்றளவு கேட்கப்பட்டு உள்ளது.  சதுரத்தின் ஒரு பக்கத்தின் நீளம் 10 சென்டி மீட்டர்கள் என கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது.  முதலில் சதுரத்தின் சுற்றளவு சூத்திரதை எழுதி கொள்வோம்.

சதுரத்தின் சுற்றளவு =4a அலகுகள்.

    இங்கு a என்பது பக்க அளவு ஆகும்.

               =4(10)

               =40 சென்டி மீட்டர்கள்.

     10 சென்டி மீட்டர்கள் பக்க அளவு கொண்ட சதுரத்தின் சுற்றளவு 40 சென்டி மீட்டர்கள் ஆகும்.

2.  20 சென்டி மீட்டர்கள் பக்க அளவு கொண்ட ஒரு சதுரத்தின் சுற்றளவு காண்க?

தீர்வு :

       மேலே சதுரத்தின் பரப்பளவு கேட்கப்பட்டு உள்ளது.   சதுரத்தின் ஒரு பக்க அளவு 20 சென்டி மீட்டர்கள் என கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது. முதலில் சதுரத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தை காண்போம்.

சதுரத்தின் பரப்பளவு =a^2 சதுர அலகுகள்.

                =a^2 அல்லது a×a

                =20×20

                =400 சதுர சென்டி மீட்டர்கள்.

      20 சென்டி மீட்டர்கள் பக்க அளவுகள் கொண்ட ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு 400 சதுர சென்டி மீட்டர்கள் ஆகும்.

3.  ஒரு சதுரத்தின் மூலை விட்டத்தின் நீளம் 50 மீட்டர்கள் உள்ளது.  அந்த சதுரத்தின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு காண்க?

தீர்வு :

         

          மேலே ஒரு சதுரத்தின் மூலை விட்டத்தின் மதிப்பு மட்டும் கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது.  இதை கொண்டு முதலில் மதிப்பை சதுரத்தின் மூலை விட்டத்தின்  சூத்திரத்தில் பயன்படுத்தி பக்க அளவு a யின் மதிப்பை கண்டு பிடிக்க வேண்டும்.  பின்னர் அதனை கொண்டு சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு காண வேண்டும்.முதலில் சதுரத்தின் மூலை விட்டத்தின் சூத்திரத்தை எழுதி கொள்ள வேண்டும்.

   சதுரத்தின் மூலைவிட்டம்

                 d=a√2 அலகுகள்.

               50=a√2

    

                 a=50/√2

                 a=2×25/√2

                 a=√2×√2×25/√2

                 a=25√2 மீட்டர்கள் 

      மேலே உள்ளவற்றை விளக்கமாக கூறினால் முதலில் தெரிந்த மதிப்புகள் சூத்திரத்தில் இடப்பட்டு உள்ளது.   பின்னர் 50 ஐ 2×25 எனவும் எழுதலாம்.  எனவே 2×25 என எழுதப்பட்டு உள்ளது.  பின்னர் 2 ஐ √2×√2எனவும் எழுதலாம்.  மேலே உள்ள ஒரு √2 ம் கீழே உள்ள ஒரு √2 ம் அடிபட்ட பின்னர் நமக்கு பக்க அளவு a  ஆனது 25√2 என கிடைக்கிறது.  இதனை கொண்டு சதுரத்தின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு காண வேண்டும்.

சதுரத்தின் சுற்றளவு

                   =4a அலகுகள்.

                   =4(25√2)

                   =100√2 மீட்டர்கள்.

சதுரத்தின் பரப்பளவு

                   =a^2 சதுர அலகுகள்.

                   =25√2×25√2

                   =1250 சதுர மீட்டர்கள்.

       பக்க அளவு a=25√2 கொண்டு சதுரத்தின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு கண்டத்தில் சுற்றளவு 100√2 மீட்டர்கள் எனவும் பரப்பளவு 1250 சதுர மீட்டர்கள் எனவும் கிடைக்கிறது.

4. ஒரு நபர் அவருடைய அவருடைய சதுர வடிவ நிலத்தில் நடுவில் சதுர வடிவில் வீடு கட்டி உள்ளார்.  அந்த நிலத்தின் ஒரு பக்க அளவு 50 மீட்டர்கள் மற்றும் சதுர வடிவ வீட்டில் ஒரு பக்க அளவு 25 மீட்டர்கள் ஆகும்.  அவர் வீட்டை சுற்றி புல் தரை அமைக்க விரும்புகிறார்.  புல் தரை அமைக்க ஒரு சதுர மீட்டர்க்கு 10 ரூபாய் செலவு ஆகிறது.  எனவே வீட்டை சுற்றி புல் தரை அமைக்க எவ்வளவு செலவு ஆகும்?

தீர்வு :

      ஒருவரின் வீட்டை சுற்றி புல் தரை அமைக்க வேண்டும்.   முதலில் அந்த நிலத்தின் பரப்பளவை காண வேண்டும்.  பின்னர் வீட்டின் பரப்பளவு காண வேண்டும்.  பின்னர் அந்த நிலத்தின் பரப்பளவில் இருந்து வீட்டின் பரப்பளவை கழித்தால் புல் தரை அமைக்க வேண்டிய பரப்பு கிடைக்கும்.  கிடைத்த பரப்புடன் ஒரு சதுர மீட்டர்க்கு ஆகும் செலவை பெருக்க புல் தரை அமைக்க மொத்த செலவும் நமக்கு கிடைக்கும்.  முதலில் நிலத்தின் பரப்பளவை காண்போம்.

சதுரத்தின் பரப்பளவு

                 =a^2 சதுர அலகுகள்.

              a யின் மதிப்பு 50 மீட்டர்கள்.

          =50×50

         =2500 சதுர மீட்டர்கள்.

       தற்போது நிலத்தின் மொத்த பரப்பளவு கிடைத்து விட்டது.  அடுத்து வீட்டின் பரப்பளவை காண வேண்டும்.  வீட்டின் ஒரு பக்க அளவு 25 மீட்டர்கள்.  இதுவே a யின் மதிப்பு ஆகும். 

            =25×25

            =625 சதுர மீட்டர்கள்.

       தற்போது வீட்டின் பரப்பளவும் கிடைத்து விட்டது.  நிலத்தின் பரப்பளவில் இருந்து வீட்டின் பரப்பளவை கழித்தால் நமக்கு புல் தரை அமைக்க வேண்டிய பரப்பளவு கிடைத்து விடும். 

          =2500-625

          =1,875 சதுர மீட்டர்கள்.

      புல் தரை அமைக்க வேண்டிய பரப்பு 1875 சதுர மீட்டர்கள் ஆகும்.  ஒரு சதுர மீட்டர்க்கு ஆகும் செலவுடன் இதனை பெருக்க நமக்கு மொத்த செலவும் கிடைத்து விடும்.

         =1875×10

         =ரூ.18,750/-

      அவரின் வீட்டை சுற்றிலும் புல் தரை அமைக்க மொத்தம் 18,750  ரூபாய் செலவு ஆகிறது.

5.  ஒருவர் அவருடைய சதுர வடிவ நிலத்தை மூலை விட்டத்தின் வழியாக 20 மீ /வி என்ற வேகத்தில் 30 வினாடிகளில் கடக்கிறார்.  கடக்கிறார்.  எனில் அந்த நிலத்தின் பரப்பளவு காண்க?

தீர்வு :

     மேலே அவர் அந்த சதுர வடிவ நிலத்தின் மூலை விட்டத்தின் வழியாக கடந்த வேகமும் மற்றும் அவர் கடந்த நேரமும் மட்டும் கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது.  இதனை வேகத்தின் சூத்திரதை பயன்படுத்தி முதலில் அவர் கடந்த பாதையின் நீளத்தை காண வேண்டும்.   பின்னர் மூலை  விட்டத்தின் நீளத்தை  கொண்டு  ஒரு  பக்க அளவை காண வேண்டும்.  பின்னர் சதுரத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தில் a  யின் மதிப்பை இட்டு பரப்பளவை  காண  வேண்டும்.

          முதலில் வேகத்தின் சூத்திரத்தில்  இட்டு முதலில் மூலை விட்டத்தின் நீளத்தை காண வேண்டும்.

         வேகம் = தொலைவு /காலம்

           வேகம் =20 மீ /வி மற்றும் காலம் =30 வினாடிகள்.

            20=தொலைவு (d)/30

           தொலைவு (d)=20×30

            தொலைவு (d)=600 மீட்டர்கள்.

    தற்போது நமக்கு மூலை விட்டத்தின் மதிப்பு கிடைத்து விட்டது.  இதனை மூலை விட்டத்தின் சூத்திரத்தில் இட்டு பக்க அளவு a யின் மதிப்பை காண வேண்டும்.

மூலை விட்டம் d=a√2 அலகுகள்.

                    600=a√2

                        a=600/√2

      தற்போது சதுரத்தின் ஒரு பக்க அளவான a கிடைத்து விட்டது.  இதனை கொண்டு சதுர வடிவ நிலத்தின் பரப்பளவை காண வேண்டும்.

சதுரத்தின் பரப்பளவு =a^2 ச. அ

                     =600/√2 ×600/√2

                     =600×600/2

                      =180000 சதுர மீட்டர்கள்.

6.   ஒரு சதுரத்தின் பக்க அளவை 30% அதிகரித்தால் அதன் பரப்பளவு எத்தனை சதவீதம் அதிகமாகும் என காண்க?

தீர்வு :

     இவ்வாறு பக்கத்தின் அளவை சதவீதத்தில் அதிகரிக்கும் போது பின்வரும் சூத்திரதை பயன்படுத்த வேண்டும்.

     %=2x±x^2/100

     இந்த சூத்திரத்தில் x உள்ள இடத்தில் சதவீத மதிப்பை இட்டு எத்தனை சதவீதம் உயரும் என காண வேண்டும்.

         30% என கேள்வியில் கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது.  அப்போது இதுவே x  ஆகும்.  மேலே அதிகரிதால் என கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது.  எனவே நாம் ± யில் (+) ஐ மட்டும் மட்டும் எடுத்து கொள்ள வேண்டும்.  இதுவே குறைத்தால் எனில் (-) ஐ எடுத்து கொள்ள வேண்டும்.

            %=2(30)+30×30/100

            %=60+900/100

            %=60+9

             %=69%

        சதுரத்தின் பக்க அளவை 30 சதவீதம் அதிகரித்தால்  அதன் பரப்பளவு 69% சதவீதம் அதிகரிக்கும்.