வட்டத்தின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவிர்க்கான சூத்திரம் | area and circumference formula of circle

        வட்டம்

         நம் அன்றாட  வாழ்வில் வட்டத்தை  அல்லது  வட்ட  வட்டிவிலான  பொருட்களை  பெரும்பாலான  இடங்களில் பயன்படுத்துகிறோம். மிதிவண்டியை  எடுத்துக்கொண்டு ஊர் சுற்றுகிறோம். அந்த  மிதிவண்டியில் உள்ள  சக்கரங்கள்  வட்ட  வடிவமுடையது. வட்டத்தை  அடிப்படையாக  கொண்டு உருவாக்கப்பட்ட  முதல்  பொருள் சக்கரங்கள். சக்கரம்  இயங்காவிட்டால்  உலகம்  இன்று இயங்காது.

        அதுபோல  ஒவ்வொரு பொருளை  செய்வதற்கும்  அதன் அளவு  அவசியம். இந்த பதிவில்  மிக முக்கிய வடிவமான  " வட்டத்தின்  சுற்றளவு  மற்றும் பரப்பளவு " பற்றி காண்போம்.

        ஒரு புள்ளியை மையமாகக்கொண்டு  நூல் ஒன்று ஒரு புள்ளியில் தொடங்கி  முடிவைடையும் போது  உருவாகும் பாதை  வட்டம் ஆகும்.

         1.  O- வட்டத்தின் மையப்பகுதி

         2.  r- வட்டத்தின் ஆரம்வட்டத்தின் மையத்திற்கும், வட்ட  பாதையில் உள்ள எதோ  ஒரு புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட  தொலைவு  ஆரம்  ஆகும்.

         3. விட்டம் (d)- வட்டத்தின் மையப்புள்ளியில் இருந்து வட்ட  பாதையில்  நேர் எதிரே  உள்ள இரு புள்ளிக்கு வரையப்படும்  கோடு விட்டம் ஆகும்.

        4. வட்டத்தில் ஏதேனும் இரு புள்ளிக்கு இடையே வரையப்படும்  கோடு நாண் எனப்படும்.

             *வட்டத்தின் மிகப்பெரிய  நாண் விட்டம் ஆகும்.

             * வட்டத்தில் வரையப்படும்  நாண்களின் எண்ணிக்கை முடிவிலி (infinitive) ஆகும்.

              * வட்டத்தின் மையத்தையும் நாணின் மையப்புள்ளியையும் இணைக்கும் கோடும்  நானும் ஏற்படுத்தும் கோணம் 90° ஆகும்.

              *சம பரப்புடைய அனைத்து மூடிய உருங்களிலும் வட்டமே குறைந்த சுற்றளவு உடையது.

வட்டத்தின்  சுற்றளவு :

                            வட்டப்பாதையின் நீளம்  சுற்றளவு  ஆகும். 

  வட்டத்தின்  சுற்றளவு

              (Circumference)}= 2πr அலகுகள்

                  π மதிப்பு -22/7 (அல்லது ) 3.14

                 r- ஆரம்

வட்டத்தின் பரப்பளவு :

                            வட்டப்பாதைக்கு  உள் உள்ள பரப்பு  வட்டத்தின்  பரப்பளவு  ஆகும்.

வட்டத்தின் பரப்பளவு

                        (Area)      }=πr^2ச.அலகுகள்.

      

           πமதிப்பு -22/7(அல்லது )3.14

                          r- ஆரம்

எடுத்துக்காட்டு கணக்கு :

கேள்வி : ஆரம்  6 செ.மீ  வட்டத்தின் சுற்றளவு  மற்றும் பரப்பளவு  காண்க.

விடை:

        ஆரம் r=6 செ.மீ,  π யின் மதிப்பு =22.7 ஓர் 3.14

வட்டத்தின் சுற்றளவு =2πr அலகுகள்

                                =2×3.14×6

             

                                =37.68 செ.மீ

வட்டத்தின் பரப்பளவு = πr^2 ச. அ

                               =3.14×6×6

                                =113.04 செ.மீ ^2.

2. ஒரு வட்ட வடிவமுடைய கடிகாரத்தில் உள்ள  நிமிட முள்ளின் நீளம் 70சென்டிமீட்டர் ஆகும்.  அது ஒரு முறை சுற்றி வரும் போது அது கடந்து வந்த வட்டப்பாதையின் நீளம் என்ன என்பதை அறிவோம்?

தீர்வு :

     வட்ட பாதையின் நீளம் என்றால் நீங்கள் சுற்றளவை கண்டறிய வேண்டும். 

வட்ட வடிவத்தின் சுற்றளவை காணும் formula

      =2πr^2  அலகுகள்.

    இங்கு 70சென்டிமீட்டர் முள் என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.  இதுவே அந்த வட்ட பாதையின் ஆரம் ஆகும்.  π யின் மதிப்பு 22/7 அல்லது 3.14 என பதிப்பை எடுத்து கொள்ளலாம்.

     =2×22/7×70

    7 ஆல் 70 ஐ அடிக்க கிடைப்பது 10 ஆகும்.  ஏனெனில் 70 யில்  பத்து ஏழுகள் உள்ளன.

      =2×22×10

     இதன் பெருக்கல் பலனாக கிடைப்பது 440 ஆகும்.

      =440 சென்டிமீட்டர்.

     எனவே முள் கடந்து வந்த பாதையின் நீளம் 440சென்டிமீட்டர்கள் ஆகும்.

3.தற்போது உங்கள் முன்னர் ஒரு மிதிவண்டி சென்று கொண்டுள்ளது.  அது ஒரு குறிப்பிட்ட தூரத்தை 21 சுழற்சியில் கடக்கிறது.  அந்த மிதிவண்டி சக்கரத்தின் ஆரம் 28 சென்டிமீட்டர் ஆகும்.  எனவே அந்த மிதிவண்டி கடந்த குறிப்பிட்ட நீளத்தை காணலாம்.

தேர்வு :

      கடந்த பாதையை காண்பதற்கு நாம் அந்த மிதிவண்டி சக்கரத்தின் சுற்றளவை முதலில் நாம் காண வேண்டும்.   கிடைத்த சுற்றளவு மதிப்புடன் மிதிவண்டி சக்கரத்தின் சுழற்சிகளின் எண்ணிக்கையை பேருக்கும் போது நமக்கு அந்த மிதிவண்டி கடந்த பாதையின் நீளம் நமக்கு கிடைக்கும்.

     முதலில் வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கான  formula வை எழுதி கொள்வோம்.

  வட்டத்தின் சுற்றளவு

                           =2πr  அலகுகள்

   மிதிவண்டி சக்கரத்தின் ஆரம்

28 சென்டிமீட்டர்கள் ஆகும். π யின் மதிப்பு 22/7 அல்லது 3.14 ஆகும்.

      =2×22/7×28

     7ஆல் 28 ஐ அடிக்க நமக்கு கிடைக்கும் மதிப்பு 4 ஆகும்.

     =2×22×4

     இதனை பெருக்க நமக்கு கிடைக்கும் மதிப்பு 176 ஆகும்.  எனவே சக்கரத்தின் ஆரம் 176 சென்டிமீட்டர்கள் ஆகும்.

     =176 சென்டிமீட்டர்கள்

 

     நமக்கு மிதிவண்டி சக்கரத்தின் சுற்றளவு மதிப்பு கிடைத்து விட்டது.  இதனை சக்கரத்தின் சுற்றுகளின் எண்ணிக்கையுடன் பெருக்கயில் நமக்கு மிதிவண்டி கடந்த பாதையை காண முடியும்.

    மிதிவண்டி சக்கரத்தின் சுற்றுகளின் எண்ணிக்கை =21

சக்கரத்தின் சுற்றளவு =176 செ. மீ 

         =176×21

         =3,696 சென்டிமீட்டர்கள்.

    பெருக்கல் பலனாக நமக்கு கிடைத்தது 3,696 ஆகும். எனவே மிதிவண்டி கடந்த தொலைவு 3,696 சென்டிமீட்டர்கள் ஆகும்.  இந்த மதிப்பை நாம் மீட்டர்க்கு மாற்ற விரும்பினால் 100 ஆல் வகுக்க வேண்டும்.  ஏனெனில் ஒரு மீட்டர் என்பது 100 சென்டிமீட்டர்கள் ஆகும்.

 ஒரு மீட்டர் = 100 செ. மீ

    

                        = 3,696/100

                        =36.96 மீட்டர்கள்

  

     மிதிவண்டி கடந்த தொலைவு 3,696  சென்டிமீட்டர்கள் அல்லது 36.96 மீட்டர்கள் ஆகும்.

   

4. ஒரு வீட்டில் வட்ட வடிவில் தோட்டம் ஒன்று உள்ளது. அந்த வட்ட வடிவமுடைய தோட்டத்தின் ஆரம் 35 மீட்டர்கள் ஆகும். அந்த தோட்டத்தை சுற்றி பாதுக்காப்பிருக்காக வேலி அமைக்க உள்ளனர்.  வேலி அமைக்க ஒரு மீட்டர்க்கு ரூ.10 செலவு ஆகிறது எனில் முழு வேலியையும் அமைக்க மொத்தம் எவ்வளவு செலவு ஆகும் என்பதை காண்போம்.

தீர்வு :

     தோட்டத்தை சுற்றி வேலி அமைக்க உள்ளதால் நாம் முதலில் அந்த வட்ட வடிவம் உடைய தோட்டத்தின் சுற்றளவை அறிந்துகொள்ள வேண்டும்.  பின்னர் தோட்டத்தின் சுற்றளவுடன் எத்தனை மீட்டர் உள்ளதோ அதனுடன் 10 ரூபாயை பெருக்க நமக்கு தொட்டத்திற்கு வேலி அமைக்க ஆகும் மொத்த செலவு எவ்வளவு என்பதை அறியலாம். 

     முதலில் தோட்டத்தின் சுற்றளவு காண்போம். 

    வட்டத்தின் சுற்றளவு =2πr அலகுகள்.

      தோட்டத்தின் ஆரம் r =35 மீட்டர்கள்

      π யின் மதிப்பு 22/7 அல்லது 3.14

           =2×22/7×35

     35  ஐ 7 ஆல் அடிக்க நமக்கு கிடைக்கும் மதிப்பு 5 ஆகும்.

           =2×22×5

         

            =220 மீட்டர்கள்.

     இதனை பெருக்க நமக்கு கிடைக்கின்ற மதிப்பு 220 ஆகும்.  எனவே வட்ட வடிவம் உடைய அந்த தோட்டத்தின் சுற்றளவு 220 மீட்டர்கள் ஆகும்.

    தற்போது தோட்டத்தின் சுற்றளவு கிடைத்து விட்டது.  இதனுடன் நாம் 10 ஐ பெருக்க நமக்கு தோட்டத்திற்கு ஆகும் மொத்த செலவும் அறியலாம்.

     ஒரு மேட்டர்க்கு வேலி அமைக்க ஆகும் செலவு ரூ.10.  220 மேட்டர்க்கு வேலி அமைக்க ஆகும் செலவு

          =220×10

          =2200

      எனவே 220 மீட்டர்கள் சுற்றளவு உடைய அந்த தோட்டத்திற்கு வேலி அமைக்க மீட்டர்க்கு ரூ.10 வீதம் 220 மீட்டர்க்கு மொத்தம் 2,200 ரூபாய் செலவாகிறது.

5.  ஒரு சைக்கிள் டயர் ஒன்று உள்ளது.  அதன் சுற்றளவு 176 சென்டிமீட்டர் ஆகும்.   எனவே அந்த சைக்கிள் டயரின் பரப்பளவு காண வேண்டும்.

தீர்வு :

       நமக்கு சைக்கிள் டயரின் சுற்றளவு மட்டும் கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது.  நாம் சைக்கிள் டயரின் பரப்பளவு காண வேண்டும்.  அதற்கு முதலில் நமக்கு அந்த சைக்கிள் டயரின் ஆரம் தெரிந்திருக்க வேண்டும்.  பின்னர் கிடைத்த ஆரத்தை கொண்டு பரப்பளவை காண்போம்.

   கொடுத்த சுற்றளவை கொண்டு ஆரத்தை கண்டறிவோம்.

 வட்டத்தின் சுற்றளவு =2πr அலகுகள்.

                     சுற்றளவு=176 செ. மீ

                                       π=22/7

                                       r=?

                          176=2×22/7×r

            176×7/22×2=r 

      22 ஆல் 176 ஐ அடிக்க 8 கிடைக்கும்.  8 ஐ 2 ஆல் அடிக்க 4 கிடைக்கும்.

                        4×7=r

   

                        r=28 சென்டிமீட்டர்.

     நமக்கு ஆரம் கிடைத்து விட்டது.  இதனை கொண்டு பரப்பளவு காண வேண்டும்.

வட்டத்தின்

பரப்பளவு =πr^2 அல்லது πr×r சதுர                                                         அலகுகள்.

  பரப்பளவு =22/7×28×28

     7 ஆல் 28 ஐ அடித்தால் 4 கிடைக்கும்.

    பரப்பளவு =22×28×4

பரப்பளவு =2,464 சதுர சென்டிமீட்டர்கள் 

    எனவே சைக்கிள் டயரின் பரப்பளவு 2,464 சதுர அலகுகள் ஆகும்.

6.  220மீ சுற்றளவு உடைய ஒரு வட்ட வடிவ கிரிக்கெட் மைதானதிற்கு புல் தரை அமைக்க வேண்டும்.  புல் தரை அமைக்க சதுர மீட்டர்க்கு ரூ.10 செலவு ஆகிறது.  முழு மைதானத்திற்கும் புல் தரை அமைக்க எவ்வளவு செலவு ஆகும் என காண்போம்.

தீர்வு :

     நமக்கு மைதானத்தின் சுற்றளவு கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது.  ஆனால் நமக்கு மைதானத்தின் பரப்பளவு தேவை.  மைதானத்தின் பரப்பளவு கண்டறிய முதலில் மைதானத்தின் ஆரம் தெரிய வேண்டும்.  எனவே சுற்றளவை கொண்டு முதலில் மைதானத்தின் ஆரம் கண்டறிவோம்.  பின்னர் ஆரத்தை கொண்டு பரப்பளவு கண்டறிவோம்.  வரும் பரப்பளவு மதிப்புடன் ஒரு சதுர மீட்டர்க்கு ஆகும் செலவை பெருக்க மைதானத்திற்கு புல் தரை அமைக்க ஆகும் மொத்த செலவும் கிடைக்கும்.

      சுற்றளவை கொண்டு ஆரம் கண்டறிய வேண்டும்.

 வட்டத்தின் சுற்றளவு =2πr அலகுகள்.

       சுற்றளவு =  220மீ.

                          π=22/7 அல்லது 3.14

                           r=?

                            220=2πr

                         

                             220=2×22/7×r

              

                            220×7/2×22=r

                           

       22 ஆல் 220 ஐ அடிக்கயில் 10 கிடைக்கும்.  அந்த 10 ஐ 2ஆல் அடிக்கயில் 5 கிடைக்கும்.

                             5×7=r

                          ஆரம் ( r)=35மீ

     மைதானத்தின் ஆரம் 35மீட்டர்கள்.  நமக்கு ஆரம் கிடைத்து விட்டது.  இதனை கொண்டு பரப்பளவு காணலாம்.

வட்டத்தின்

 பரப்பளவு =πr^2 அல்லது πr×r சதுர

                                                  அலகுகள்.

               π=22/7, r=35மீ

  பரப்பளவு =22/7×35×35

      7 ஆல் 35 ஐ அடித்தால் 5 கிடைக்கும்.

  பரப்பளவு =22×35×5

 பரப்பளவு =3,850 சதுர அலகுகள்.

     மைதானத்தின் பரப்பளவு 3,850 சதுர அலகுகள் ஆகும்.  இதனுடன் ஒரு சதுர மீட்டர்க்கு ஆகும் செலவை பெருக்க மைதானத்திற்கு புல் தரை அமைக்க ஆகும் மொத்த செலவு கிடைக்கும்.

     ஒரு சதுர மீட்டர்க்கு புல் தரை அமைக்க ஆகும் செலவு =ரூ.10

     3,850 சதுர மீட்டர்க்கு புல் தரை அமைக்க ஆகும் செலவு 

            =3,850×10

            =ரூ.38,500//-

    மைதானம் முழுவதும் புல் தரை அமைக்க மொத்தம் ரூ. 38,500 ரூபாய் செலவு ஆகும்.