கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு formula |quarter circle's area and circumference formula
கால் வட்டம்
ஒரு வட்டத்தின் நான்கில் ஒரு பகுதி (1/4) கால் வட்டம் ஆகும். கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு காணும் சூத்திரங்களை விளக்கமாக காண்போம்.
கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு :
சுற்றளவு என்பது பொருளின் விளிம்பின் நீளம் ஆகும். கால் வட்டத்தின் வெளிப்பாதை அதன் சுற்றளவு ஆகும். கால் வட்டத்தில் இரண்டு ஆரங்களும் மற்றும் πr/2 அளவு வட்டப்பாதையும் உள்ளது. இவை இரண்டையும் கூட்ட கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு கிடைக்கும்.
கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு
(Circumference)}=πr/2+2r
=r(π/2+2) அலகுகள்.
r-ஆரம்,πயின் மதிப்பு -22/7 அல்லது 3.14.
கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு :
கால் வட்டத்தின் வெளிப்புற பாதையால் அடைபட்டுள்ள பரப்பு அதன் பரப்பளவு ஆகும்.இது வட்டத்தின் பரப்பளவில் நான்கில் ஒரு பகுதி (1/4) ஆகும்.
கால் வட்டத்தின்
பரப்பளவு (area)}=πr^2×1/4
=πr^2/4 ச. அலகுகள்
மேலும்,πயின் மதிப்பு -22/7 அல்லது 3.14, r-ஆரம்.
கால் வட்டத்திற்கான சில எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள் :
1. ஆரம் 7 மீட்டர்கள் கொண்ட ஒரு கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு காண்க?.
தீர்வு :
மேலே குறிப்பிட்டு உள்ள கேள்வியில் கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு கேட்கப்பட்டு உள்ளது. மேலும் அந்த கால் வட்டத்தின் ஆரம் குறிப்பிடப்பட்டு உள்ளது.
ஆரம் r=7 மீட்டர்கள்.
முதலில் கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு சூத்திரதை எழுதிக்கொள்ள வேண்டும்.
கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு
=r(π/2 +2) அலகுகள்.
நமக்கு ஆரம் r யின் மதிப்பு தெரியும். இதை சூத்திரத்தில் பயன்படுத்தி கால் வட்டத்தின் சுற்றளவை காணுவோம்.
=7(3.14/2 +2)
=7 (3.14+4/2)
=7 (7.14/2)
=7(3.57)
=24.99 அல்லது 25.
மேலே உள்ள ஒவ்வொறன்றிக்கும் விளக்கம் என்னவென்றால் முதலில் மதிப்புகள் அனைத்தும் சூத்திரத்தில் இடப்பட்டு உள்ளது. பின்னர் அடைப்பு குறிக்குள் உள்ளதை முதலில் தீர்க்க வேண்டும். அடைப்பு குறிக்குள் உள்ளது பின்னத்தில் உள்ளதால் அதை குறுக்கு பெருக்கல் செய்வதன் மூலம் நமக்கு கிடைக்கும் மதிப்பு 7.14/2 ஆகும். இதை மேலும் சுருக்கினால் 3.57 என மதிப்பு கிடைக்கும். பின்னர் 7 ஆல் 3.57 ஐ பெருக்கினால் நமக்கு 24.99 மதிப்பு கிடைக்கும். 24.99 அல்லது 25 என கூட எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
மேலே குறிப்பிட்ட வினாவான 7 மீட்டர் ஆரம் கொண்ட கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு 25 மீட்டர்கள் ஆகும்.
2. ஒரு கால் வட்டத்தின் ஆரம் 21 மீட்டர்கள் உள்ளது. அந்த கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு காண்க?
தீர்வு :
மேலே ஒரு கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு கேட்கப்பட்டு உள்ளது. மேலும் அதன் ஆரம் கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது. அதன் ஆரம் ஆனது,
ஆரம் r= 21 மீட்டர்கள் ஆகும். முதலில் கால் வட்டத்தின் பரப்பளவிர்க்கான பரப்பளவு சூத்திரதை எழுதி கொள்வோம்.
கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு
=πr^2/4 சதுர அலகுகள்.
அதாவது வட்டத்தின் சுற்றளவு சூத்திரத்தில் நான்கில் ஒரு பகுதி. இந்த சூத்திரத்தில் நமக்கு கிடைத்த மதிப்புகளை இட்டு பரப்பளவு காண்போம்.
ஆரம் r=21 மீட்டர்கள் மற்றும் π யின் மதிப்பு 22/7 அல்லது 3.14 ஆகும்.
கால் வட்டத்தில் பரப்பளவு
=3.14×21^2/4
=3.14×21×21/4
=1384.74/4
=346.185 சதுர மீட்டர்கள்.
மேலே உள்ள ஒவ்வொரு படினிலைகளுக்கும் விளக்கம் பின்வருமாறு. முதலில் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகள் சூத்திரத்தில் இடப்பட்டு உள்ளது. π யின் மதிப்பிற்கு நீங்கள் 22/7 ம் கொடுக்கலாம் அல்லது 3.14 ம் கொடுக்கலாம். பின்னர் 3.14×21×21 என்பது பெருக்கப்பட்டு உள்ளது. பெருக்கப்படும் போது கிடைக்கும் மதிப்பு 1384.74. பின்னர் பெருக்கல் மதிப்பு 4 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது. வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மதிப்பு 346.185 ஆகும்.
எனவே கொடுக்கப்பட்ட 21 மீட்டர்கள் ஆரம் கொண்ட கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு 346.185 சதுர மீட்டர்கள் ஆகும்.
இப்போது பரப்பளவு சுற்றளவு கொடுத்தால் ஆரம் எப்படி கண்டுபிடிப்பது என்பது பற்றி காண்போம்.
3. ஒரு கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு 24.99 மீட்டர்கள் ஆகும். அதன் ஆரம் காண்க?
தீர்வு :
கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு மதிப்பு கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது. மேலும் அந்த கால் வட்டத்தின் ஆரம் எவ்வளவு என கேட்கப்பட்டு உள்ளது.
கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு மதிப்பு 24.99 மீட்டர்கள். இந்த மதிப்பை கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு சூத்திரத்தில் இட்டு அதன் ஆரத்தை காண்போம். முதலில் கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு சூத்திரதை எழுதிக்கொள்வோம்.
கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு
=r(π/2+2) அலகுகள்.
சுற்றளவு மதிப்பு 24.99 மற்றும் π யின் மதிப்பு 22/7 அல்லது 3.14. r யின் மதிப்பு தெரியாது. எனவே அதனை r எனவே வைத்து கொள்வோம். இதனை சூத்திரத்தில் இடுவோம்.
சுற்றளவு =r(3.14/2+2)
24.99=r(3.7)
24.99/3.7=r
r=7 மீட்டர்கள்.
மேலே உள்ள படிநிலைக்கு விளக்கம். முதலில் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் இடவேண்டும். முதலில் அடைப்பு குறிக்குள் உள்ளதை தீர்க்க வேண்டும். அடைப்பு குறிக்குள் உள்ளதை குறுக்கு பெருக்கல் முறையில் தீர்க்கும் போது 3.7 கிடைக்கிறது. பின்னர் r ஐ மட்டும் ஒரு புறம் வைத்துக்கொண்டு 3.7 மதிப்பை மறுபுறம் கொண்டு வர அது வகுத்தல் ஆக மாறும். பின்னர் 24.99 ஐ 3.7 ஆல் வகுக்க 7 கிடைக்கிறது. இதுவே r யின் மதிப்பு ஆகும்.
எனவே 24.99 மீட்டர்கள் சுற்றளவு கொண்ட கால் வட்டத்தின் ஆரம் 7 மீட்டர்கள் ஆகும்.
4. ஒரு கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு மதிப்பு 3,215.36 சதுர மீட்டர்கள் ஆகும். இந்த கால் வட்டத்தின் ஆரம் கண்டறிக?
தீர்வு:
இங்கு கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு மதிப்பு கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது. இந்த மதிப்பை கொண்டு ஆரம் காண வேண்டும். முதலில் கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு சூத்திரதை எழுதி கொள்வோம்.
கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு
=πr^2/4 சதுர அலகுகள்.
மேலே உள்ளதில் கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு மதிப்பு 3,215.36மீட்டர்கள் . மேலும் π யின் மதிப்பு தெரியும். r^2 மதிப்பை அப்படியே வைத்து கொள்வோம். இந்த மதிப்புகள் அனைத்தையும் கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தில் இடுவோம்.
பரப்பளவு =3.14×r^2/4
3215.36=3.14×r^2/4
3215.36×4=3.14×r^2
12,861.44=3.14×r^2
12,861.44/3.14=r^2
4096=r^2
64×64=r^2(or)r×r
r=64
மேலே உள்ளவற்றிற்கு விளக்கம் பின்வரும்மாறு கொடுக்கப்படுகிறது. முதலில் தெரிந்த மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் இடப்பட்டு உள்ளது. பின்னர் 3.14×r^2 யின் மதிப்பு மட்டும் வலப்புறம் இருக்க 4 ஆனது இடப்புறம் கொண்டு செல்ல படுகிறது. 4 ஆனது = மறுபுறம் செல்லும் போது வகுத்தலிள் இருந்து பெருக்கலாக மாறும். 4 ஆல் 3,215.36 ஐ பெருக்கும் போது 12,861.44 மதிப்பு கிடைக்கிறது. பின்னர் 3.14 ஆனது = க்கு இடப்புறம் கொண்டு செல்ல படுகிறது. 3.14 ஆனது வலது பக்கத்தில் இருந்து இடப்புறம் வரும் போது பெருக்கலில் இருந்து வகுத்தலாக மாறும். 12.,861.44 ஐ 3.14 ஆல் வகுக்கும் போது நமக்கு 4096 கிடைக்கும். 64 யின் வர்க்கமானது 4096 ஆகும். r ஆனது வர்க்கத்தில் உள்ளது. ஆகவே ஆரம் r யின் மதிப்பு 64 ஆகும்.
ஆகவே 3,215.36 சதுர மீட்டர்கள் பரப்பளவு கொண்ட ஒரு கால் வட்டத்தின் ஆரம் 64 மீட்டர்கள் ஆகும்.
5. 35 மீட்டர்கள் ஆரம் கால் வட்டம் வடிவம் கொண்ட ஒரு விளையாட்டு பூங்காவை சுற்றி வேலி அமைக்க வேண்டும். வேலி அமைக்க ஒரு மீட்டர்க்கு ரூபாய் 10 செலவு ஆகிறது எனில் பூங்காவை சுற்றி முழுவதும் வேலி அமைக்க எவ்வளவு செலவு ஆகும்? மேலும் அந்த பூங்கா முழுவதும் புல் தரை அமைக்க படுகிறது. ஒரு சதுர மீட்டர்க்கு ரூபாய் 20 செலவு ஆகிறது. எனவே பூங்கா முழுவதும் புல் தரை அமைக்க எவ்வளவு செலவு ஆகும்?
தீர்வு :
இந்த கேள்வியில் பூங்காவின் வடிவம் கால் வட்டம் என கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது. அதன் ஆரம் 35 மீட்டர்கள். முதலில் பூங்காவை சுற்றி வேலி அமைக்க எவ்வளவு செலவு ஆகும் என்பதை காண்போம்.
வெளியானது பூங்காவை சுற்றி அமைக்கப்படுகிறது என்பதால் முதலில் அந்த பூங்காவின் சுற்றளவு ஆறிந்திருக்க வேண்டும். பின்னர் அதன் சுற்றளவுடன் ஒரு மீட்டர்க்கு ஆகும் செலவை பெருக்க நமக்கு பூங்காவிற்கு சுற்றி வேலி அமைக்க ஆகும் மொத்த செலவும் கிடைக்கும்.
கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு
=r(π/2 +2) அலகுகள்.
ஆரம் r=35 மீட்டர்கள். தெரிந்த மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் இட்டு சுற்றளவு காண வேண்டும்.
= 35(3.14/2 +2)
=35 (7.14/2)
=35(3.57)
= 124.95 அல்லது 125
மேல் உள்ள படிநிலைகள் விளக்கம் என்னவென்றால் தெரிந்த மதிப்பு முதலில் சூத்திரத்தில் இட வேண்டும். பின்னர் அடைப்பு குறியில் உள்ளதை முதலில் தீர்க்க படுகிறது. பின்னர் அடைப்பு குறிக்குள் தீர்க்கப்பட்ட மதிப்பு 3.57 ஆகும். இதை 35 உடன் பெருக்க நமக்கு 124.95 கிடைக்கிறது. இதை நாம் 125 எனவும் எடுத்து கொள்ளலாம்.
பூங்காவின் சுற்றளவு =125 மீட்டர்கள்.
தற்போது நமக்கு பூங்காவின் சுற்றளவு கிடைத்து விட்டது. இதனுடன் ஒரு மீட்டர்க்கு வேலி அமைக்க ஆகும் செலவை பெருக்க நமக்கு வேலி அமைக்க ஆகும் மொத்த செலவும் கிடைக்கும்.
ஒரு மீட்டர்க்கு ஆகும் செலவு =ரூ.10
125 மீட்டர்க்கு ஆகும் செலவு
=125×10
= ரூ.1250
பூங்காவை சுற்றி வேலி அமைக்க மொத்தம் 1250 ரூபாய் செலவு ஆகும்.
பூங்கா முழுவதும் புல் தரை அமைக்க ஆகும் செலவை காண நமக்கு முதலில் பூங்காவின் பரப்பளவு அறிந்திருக்க வேண்டும். பூங்காவின் பரப்பளவுடன் ஒரு சதுர மீட்டர்க்கு ஆகும் செலவை பெருக்க நமக்கு பூங்காவிற்கு புல் தரை அமைக்க ஆகும் மொத்த செலவு கிடைக்கும்.
கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு
=πr^2/4 சதுர அலகுகள்.
=3.14×35×35/4
=3846.5/4
=961.625 அல்லது 962
பூங்காவின் பரப்பளவு =962 சதுர மீட்டர்கள்.
பூங்காவின் பரப்பளவு மதிப்பு கிடைத்து விட்டது. இதனுடன் ஒரு சதுர மீட்டர்க்கு ஆகும் புல் தரை அமைக்க ஆகும் செலவை பெருக்க நமக்கு பூங்காவிற்கு புல் தரை அமைக்க ஆகும் மொத்த செலவும் கிடைக்கும்.
பூங்காவிற்கு புல் தரை அமைக்க ஆகும் மொத்த செலவு
=962×20
=ரூ.19,240
பூங்கா முழுவதும் புல் தரை அமைக்க மொத்தம் 19,240 ரூபாய் செலவு ஆகிறது.
கருத்துகள்
கருத்துரையிடுக